螺旋槳 8：該有幾片槳葉？該造多大？

本篇仍舊使用前篇 ^[1] 使用過的計算程式，並稍做修改 ^[2] 以計算與比較本篇不同構型螺旋槳的性能。 並且本篇所使用的幾個分析案例也衍伸修改自前篇所使用的橢圓形槳葉案例， 只不過為了方便在槳葉的參數上做些文章，因此對於槳葉的造型做了點變化， 成為下圖(Figure 1)所示的樣子。 其性能表現結果與前篇原版的橢圓槳葉螺旋槳相近但仍有所差異， 因此不建議將前後篇的性能表現互相比較。

另外本篇在性能圖表的表現方式上也有所更動。 由於前篇算是對螺旋槳分析的介紹和了解，因此對螺旋槳性能的細節描述比較詳細， 而本篇圖表將不會過份強調在細節上，而是將更加看重整體的表現結果。 首先要排除的就是螺旋槳的 K 值，也就是無因次化之後的槳距。 之前我們能在同一張圖表上看到各種不同 K 值螺旋槳的性能變化趨勢， 但是現在我們要假設這是一個可以自由變距的螺旋槳，並且在測試的過程中存在一個虛擬的駕駛員， 他會隨時調整螺旋槳的槳距，將螺旋槳盡可能的保持在最高效的位置。 以下圖(Figure 2)為例， 意思等同於我計算出無限多組不同 K 值之下的結果，並取它們各自的效率最高點連線起來， 就成為一個只有 J 值(無因次的航速與轉速比例關係)和效率對應關係的圖表， 而其中每一個位置的 K 值可能都是不同的。

那麼按照上述的處理方式將本篇所使用的螺旋槳進行計算分析， 其之速度比例與效率之間的變化關係就會如下圖(Figure 3)所示， 而速度比例與推力係數的變化關係就如下圖(Figure 4)所示。 可以看出在 J < 1 的時候效率會隨著 J 值的增加而快速增加， 表現基本與前一張圖(Figure 2)一致。 但是在大約 J > 1.5 之後效率的表現基本就持平，在大約 J = 2 的時候達到最大值，之後便緩步稍降。 至於推力的表現與 J 值之間基本就是線性變化關係， 因此在分析計算中如果為了簡化算式的話，也可以用直線去作推算近似。

為什麼 J 值大道某一個程度之後螺旋槳效率反而會(微幅)下降呢？ 因為這時候的螺旋槳已經轉的太慢了！ J 值就是航速與轉速的比例關係，因此在 J 過高的情況下就表示轉速是相當低的(畢竟航速最大也不會達到音速)。 而槳葉本身本來就具有阻力，就算螺旋槳完全不轉動也仍然會有一定的基礎阻力。 意思就是說，當 J 值高到某個程度以上的時候，因為螺旋槳轉速過低，產生的推力已經非常微小， 使得在這個情況下槳葉本身的阻力在整體螺旋槳表現之中的佔比會開始被拉高凸顯出來。 於是就造成了產生的推力微小，雖然所需要的轉動功耗也是相當微小， 但是因為基礎阻力的影響比重被拉高，因此反而造成最終效率下降的結果。 不過另外一個現象也值得注意， 那就是即便在 J 過高時候的效率已經不及全局最佳效率值，但是仍然是處在高檔位的區間！ 從下圖(Figure 3)來看 J = 4 時的效率雖已不及 J = 2 時的最大效率，但仍是屬於高效率的區段！

我們前篇所分析的螺旋槳都是兩葉的，那麼採用不同的槳葉數量會有什麼不一樣呢？ 與此類似的延伸問題還有，採用不同寬度的槳葉又會有什麼不同的表現呢？ 為了實驗這些問題，本篇在前面設計的基礎造型之下衍伸出幾個不同造型的螺旋槳用來計算並比對。 如下圖(Figure 5)所示， 兩個螺旋槳造型與本篇所使用之基礎螺旋槳完全一樣，除了槳葉數量分別增加為雙倍和四倍； 而下圖(Figure 6)所示則為在槳葉的寬度上做變化。 這兩種螺旋槳的變化都達到了增加槳葉總面積的結果，其增加的槳葉面積也完全相同， 只不過前者是採用增多槳葉數量的方式，而後者是採用槳葉加寬的方式達成。

按照前章節描述的方式將這幾種不同造型螺旋槳的性能都計算出來後， 結果就如上圖所示(Figure 7 與 Figure 8)。 其中最直觀的就是推力係數直接的倍比增加了！ 這很容易理解， 因為不論是增加槳葉數量或是增加槳葉寬度，都是實質上的增加了螺旋槳的槳葉面積， 因此推力成比例上漲就是意料之中的結果，並且它們各自的推力變化趨勢也大致仍是線性的。 只不過呢，從圖表中也同樣看出來螺旋槳推力的增加並不是完全的兩倍或四倍。 我們就取在 J = 2 時的數字(如下表 Table 1)作為比較。 先看增加槳葉數量的案例(就是標示為 double/quad blade number 的案例)， 槳葉的數量加倍後，推力係數與原來加倍前的數字相比也幾乎增加為兩倍，只不過數字略小於兩倍， 而當槳葉數量再加倍時也同樣如此。 再看增加槳葉寬度的結果(就是標示為 double/quad blade width 的案例)也相同， 推力也是略小於原有基礎造型的加倍並且略小； 只不過這個「略小」比起前面增加槳葉數量的方式來說又略小的更多了！

那麼明明槳葉面積增加了，為什麼推力沒有等比例加倍呢？為什麼推力會「略小」呢？ 這顯然就是當中存在一些損耗了！ 因此我們再看看這幾個螺旋槳在效率上的數值差異(Figure 8 與 Table 1)將會更加明顯。 我們使用作為比對的基礎螺旋槳在 J = 2 時有著 93.22% 的效率， 而將槳葉加倍之後，效率就下降到了 91.82%，再加倍則繼續下降到 89.79%； 增加槳葉寬度的方案基本趨勢是一樣的，但是效率損耗的更多！ 當槳葉加寬為雙倍之後，效率下降到 90.92%，再加寬則降到 87.72%。 如果有讀者覺得這些數字看起來都很高很優秀，覺得下降的也不多啊！ 那麼我們就把前篇那個竹蜻蜓式螺旋槳也拿來比較一下， 那個效能上一般會被嫌棄到爆炸的竹蜻蜓螺旋槳，它在 J = 2 的時候效率都還有個 76.09% 喔！ 如果這樣一對比的話，你看這不管是增加槳葉數量還是增加槳葉寬度的方案， 雖然表現仍舊比竹蜻蜓螺旋槳好得多，但已經不再是可以忽視的性能劣化了吧？！

螺旋槳的槳葉總面積增加了，但是整體效率卻劣化了，這其中的損失主要就來自於槳葉尖端所造成的誘導氣流。 不論是螺旋槳的槳葉還是飛機的機翼，這個翼尖的誘導渦旋愈強愈大的話，對翼面性能的劣化會愈嚴重， 因而衍生的許多翼尖設計以及機翼造型都是為了減小翼尖渦流所帶來的影響。 在螺旋槳上面，每一片槳葉同樣會受到槳葉尖端的誘導渦旋帶來的影響導致性能劣化， 並且並不僅止於受到槳葉自己的誘導渦旋影響，其它槳葉所造成的誘導渦旋同樣影響著螺旋槳上的每一片槳葉， 每一片槳葉所受到的都是全部槳葉所帶來的誘導氣流疊加的結果。 因此就不難理解為什麼槳葉數量愈多之後，螺旋槳的效率就愈低了， 因為當槳葉的數量愈多的時候，槳葉與槳葉之間的距離靠得更近，彼此互相影響的效果也就愈加顯著！

若不增加槳葉數量，而改以增加槳葉寬度的方式來增加槳葉總面積，同樣也遭遇了效率下降的結果， 其原因同樣也來自於誘導氣流！ 雖然槳葉的數量一直維持在兩葉而無增加，但是槳葉寬度增加的結果同樣也會導致翼尖誘導渦旋被加強的結果； 並且雪上加霜的是，槳葉寬度的增加還導致槳葉的展弦比降低了，這又會進一步導致受到誘導氣流的影響加劇。 或者其實也可以理解為，將葉寬度增加一倍的方式其實相似於前面增加螺旋槳數量的方案， 只不過槳葉兩兩一前一後的靠在一起，那麼因為槳葉之間距離更近的關係，彼此的影響效果自然又放大了。 從實驗結果來看，增加槳葉寬度的做法帶來的性能劣化都大於增加槳葉數量的做法， 這就說明了為什麼我們眼界所及的飛機較少會在寬度等造型上去變化，而是大部份以增減槳葉數量來處理的原因了！

除了造型的不同之外，螺旋槳常常也是有大有小，那麼不同大小的螺旋槳之間又有什麼樣的差異呢？

首先來談談螺旋槳的性能瓶頸！ 螺旋槳的轉速並不能夠無限制增加，其性能實際上會受到空氣音速的限制。 當某個地方的速度達到音速的時候，就會開始出現超音速流場所特有的「震波」問題， 這會導致螺旋槳的扭矩突然增大，以至於即便投入更高的驅動功率卻難以再增加更多推力的結果。 那麼螺旋槳的哪裡會遭遇到最大的氣流速度呢？顯然就是在槳葉的尖端了！ 因此我們可以將螺旋槳的尖端速度設定為一個固定的數字， 而在此條件之下的螺旋槳效能大約就是能夠產生最大推力的狀態。

如同上圖(Figure 9)所示， 螺旋槳葉片上某個位置的氣流速度會受到槳葉自身的旋轉運動、以及自由氣流兩者的合成 (為了簡化分析，誘導流的存在就先不考慮了)。 於是這裡假設螺旋槳尖端的氣流速度 \(V_{b_{tip}}\) 為：

\[ V_{b_{tip}} = \sqrt{ V_\infty^2 + \left( \frac{D_p}{2} \omega \right)^2 } = V_{sound} \]

由於我們這次的比較重點放在槳盤大小造成的影響差異，因此就假設其它條件不變， 也就是說在同樣的音速和同樣的航速下進行比較。 那麼上式就能整理為：

\[ D_p \omega = 2 \sqrt{ V_{sound}^2 - V_\infty^2 } = Const. \]

然後我們假設有兩個除了尺寸不一樣以外其它參數完全一模一樣的螺旋槳， 一個螺旋槳槳盤直徑為 \(D_{p1}\)，其最大轉速為 \(\omega_1\)， 另一個螺旋槳的直徑和最大轉速則分別為 \(D_{p2}\) 和 \(\omega_2\)。 再假設其中第二個螺旋槳的槳盤直徑為第一個螺旋槳的 \(\gamma\) 倍，那麼：

\[ D_{p2} = \gamma D_{p1} \] \[ D_{p2} \omega_2 = Const. = D_{p1} \omega_1 \] \[ \gamma D_{p1} \omega_2 = D_{p1} \omega_1 \] \[ \omega_2 = \frac{\omega_1}{\gamma} \]

接著就能發現一件事，無論槳盤尺寸如何放大縮小，在最大推力的條件下 J 其實是不會改變的！ 如下：

\[ J_2 = \frac{ 2 \pi }{\omega_2} \frac{V_\infty}{D_{p2}} \] \[ = \frac{ 2 \pi \gamma }{\omega_1} \frac{V_\infty}{ \gamma D_{p1} } \] \[ = \frac{ 2 \pi }{\omega_1} \frac{V_\infty}{D_{p1}} \] \[ = J_1 \] \[ J_2 = J_1 = J \]

在最大推力條件下無論槳盤尺寸如何，J 直都是一樣的， 自然的我們的虛擬自動駕駛員給它調整後的 K 值也會是一樣的； 這就表示連同其它所有相關係數都會是一樣的，因此我們無需再做其它分別處理。 那麼我們就能夠計算兩副螺旋槳的推力：

\[ Thrust_2 = \rho \left( \frac{\omega_2}{ 2 \pi } \right)^2 D_{p2}^4 C_{thrust} \] \[ = \rho \left( \frac{\omega_1}{ 2 \pi \gamma } \right)^2 ( \gamma D_{p1} )^4 C_{thrust} \] \[ = \gamma^2 \rho \left( \frac{\omega_1}{ 2 \pi } \right)^2 D_{p1}^4 C_{thrust} \] \[ = \gamma^2 \cdot Thrust_1 \]

至此我們已經得到結果。 不同尺寸的螺旋槳(在輸出最大推力的前提下)所有係數都是相同的，也就是說性能特性與效率等都是相同的， 只不過轉速會與尺寸倍率成反比，而推力會與尺寸倍率的平方成正比(其實也就是與槳盤面積成正比)。 也就是說，當槳盤直徑增加為兩倍時，最大推力會增加為原有的四倍； 反方向也可說，當槳盤直徑縮減為一半時，最大推力會減少至原有的四分之一。 因此在應用上，螺旋槳的尺寸不能夠小於某個數值， 否則它可能會在死命賣力的極限運轉下都無法提供你要的最低推力 (當然這是在不改變其它設計參數而只改變尺寸的情況下)！ 這也是為什麼直升機的螺旋槳(旋翼)必須造的那麼大的原因！

前面探討了不同尺寸螺旋槳的性能差異，但是重點放在了極限性能的表現上； 而本節一樣要探討螺旋槳尺寸差異造成的影響，只是將條件改變為在提供同樣推力輸出的水準下。 這樣做的意義是什麼呢？ 比方說我們想要設計或改裝一架飛機，這時候飛機的推力需求以及飛行條件如空速等就是不變的， 可能再強力的推力裝置也得給我們減小油門才不會讓飛機散架。 於是這就符合了本節所要討論的場景：在提供相同推力的前提下，比較不同尺寸螺旋槳的影響差異。

其實從前面的分析結果已經可以得到關於本節關注重點下的一些有用訊息： 尺寸更大的螺旋槳能夠提供更大的推力，我們可以讓螺旋槳放鬆一點不用轉的那麼賣力，就能得到所需要的推力； 而尺寸更小的螺旋槳提供的推力比較小，會需要更加賣力的飛速運轉才能夠提供所需要的推力 (當然是在有餘裕能夠轉的更快的前提下)。 由於在這樣的情況下，我們會需要手動為不同的測案調整變更轉速，以得到所設定的推力， 那麼 J 值和 K 值都會有所變化，連帶的所有性能相關係數也都會不一樣， 因此不再能夠像前面的分析一樣輕易的從數學式就能推導出結果關係。 所以這裡就直接挑選了幾個不同的螺旋槳尺寸去調整並計算性能。 螺旋槳的參數採用前面作為測試比較基礎的橢圓雙葉螺旋槳，只改變其槳盤尺寸。 不同槳盤尺寸的計算結果數據如下表(Table 2)，而其所使用的一些共同條件參數則如下所列：

\[ \rho = 1.225 \] \[ V_\infty = 83.33 \]

計算的結果與前面的預期相同，當螺旋槳愈大的時候，轉速就可以放的愈慢，這會讓 J 值增加， 而較大的 J 值造成的最主要差異在於效率上。 也就是說至此已經可以整理出一個結論： 在給定推力需求的條件下，選用尺寸愈大的螺旋槳則效率愈佳； 在不考慮其它比方說結構負荷與平衡性等等條件的情況下，理論上盡可能選用更大的螺旋槳是更加有利的！ 即便在上面的測試案例裡，那個尺寸最大的螺旋槳效能其實已經過了最高峰在往下走了， 但是效能也依然是處在最高段位的區間！

介紹完螺旋槳的幾個主要參數和性能特性之後， 現在讓我們站在設計飛機的角度要給自己的飛機挑選安裝螺旋槳，要怎麼決定這些參數呢？

本篇延續前篇的螺旋槳性能分析， 繼續分析了有關螺旋槳尺寸大小、槳葉數量、以及槳葉寬度等參數對於整體性能的表現差異。 其中螺旋槳的轉速愈低則大致上整體效率愈高，只不過轉速過份低的時候可能會導致效率微幅下降的反效果； 而螺旋槳所能產生的推力大小則主要決定於槳盤面積以及槳葉數量。 若是站在追求效率與動力的角度，則得出應在所能夠負擔的範圍內採用最大尺寸的螺旋槳為佳的結論； 而在尺寸已定的前提下若發動機功率過剩，則可以增加槳葉數量的方式， 透過效率的犧牲下降來換取能夠完整發揮發動機功率的性能空間。

最後，本篇所使用的螺旋槳分析程式以及計算結果等資料， 都在此提供下載 ^[15] 。