姿態穩定 4：偏航

July 24, 2026

在完成前篇 ^[1] 的入門練習之後，本篇就來上手計算飛機的氣動穩定性吧。不過按照由淺入深的順序，就讓我們先從最簡單的部份開始，也就是偏航的穩定性。

偏航分析

Figure 1. 偏航示例圖 ^[2]

要分析偏航穩定性之前，首先我們得先拿一把大鎚子，把飛機狠狠砸成扁扁的平面，如上圖(Figure 1)所示。這樣我們就可以忽略實際 3D 條件下的各種影響和耦合，只以 2D 的型態來進行解析了！在這張圖裡，一架飛機大致上是直直朝前飛行，只不過因故向右扭頭偏移了一個小角度 (當然也可以向左偏轉，那就是負的偏移角而已)。此外，整片 3D 的垂直尾翼被我們使用一個等效的翼型來替代；意思就是雖然這個垂直尾翼在實際上可能長成梯形、三角形等等各種奇形怪狀，但在這裡我們得找到一個效果相同的矩型翼去替代它以方便計算，也就是將整片垂直尾翼化為一個等效的 2D 翼型，這事情在往期的文章 ^[3] 就曾經解釋過。

理解這張圖(Figure 1)所表達的狀態之後，圖內的各符號意義如下：

cg 是飛機的質量中心(Centre of Gravity)，也就是飛機受力產生力矩時的轉動軸位置；
v 是因為飛機的向前飛行而產生的相對氣流速度；
\(l_v\) 是從垂直尾翼的空氣動力中心到飛機質量中心的距離，也就是尾翼給飛機施加轉動力矩時的力臂長度；
\(\psi\) 是飛機與相對氣流之間的夾角，也就是偏航角；
\(c_v\) 是垂直尾翼的等效翼型的弦長；
\(S_v\) 是垂直尾翼的面積；
Lift 是垂直尾翼在氣流的吹佛下所產生的升力，依照升力定義 ^[3]，其垂直於前進氣流；
Drag 是垂直尾翼在氣流的吹佛下所產生的阻力，依照阻力定義 ^[3]，其平行於前進氣流；
\(M_v\) 是垂直尾翼在氣流的吹佛下所產生的自身轉動力矩 ^[3]；
F 是垂直尾翼的升力和阻力產生的合力對旋轉力矩有效的分量；
M 是整架飛機所受到的偏航轉向力矩，而在當前的分析中這力矩全來自於垂直尾翼，並且依示意圖所顯示的狀態來看，這時產生的力矩是負的值。

Tip	本系列的所有內容基本都建立在 2D 平面的範圍內，因此使用 2D 的「等效翼型」來替代整片翼面這件事會貫穿整個系列的文章。至於對任意一個實際的機翼如何計算取得其等效翼型的部份，就不是本系列涵蓋的內容範圍了！若將來有機會的話，我可能會再以別的系列去解釋非矩型機翼要如何計算處理的部份。因此若讀者學習完本系列文章之後立刻就想要自己動手設計製做飛機的話，這裡建議直接使用方方正正的矩型機翼最為簡單單純，也就不用處理如何計算等效的問題。

此時尾翼所產生的升力、阻力、及力矩如下 ^[3] (其中未解釋的符號意義與往期文章 ^[3] 相同)：

\[ \mathit{Lift} = \frac{1}{2} \rho v^2 S_v \mathit{C_l}(\psi) \] \[ \mathit{Drag} = \frac{1}{2} \rho v^2 S_v \mathit{C_d}(\psi) \] \[ M_v = \frac{1}{2} \rho v^2 S_v c_v C_m \]

那麼飛機在此偏航狀態下所產生的總力矩(其實在本例中也就只有垂直尾翼產生的力矩)如下：

\[ M = M_v - l_v ( \mathit{Lift} \cdot \cos(\psi) + \mathit{Drag} \cdot \sin(\psi) ) \] \[ M = \frac{1}{2} \rho v^2 S_v ( c_v \cdot C_m - l_v \cdot \mathit{C_l}(\psi) \cos(\psi) - l_v \cdot \mathit{C_d}(\psi) \sin(\psi) ) \]

上面這東西看上去好似有點複雜，但別擔心！相較於俯仰方向因為考慮要產生能夠托舉飛機重量的升力而大多會採用非對稱翼型的情況不同，垂直尾翼是用來處理飛機的偏航穩定，左偏或右偏的機會是大致相等的，需要一致對待，因此垂直尾翼基本一定採用對稱翼型。在我們認定垂直尾翼採用對稱翼型的情況下，那麼翼型的力矩係數(\(C_m\))就會是零，此外目前還沒出現的翼型零升力攻角(\(\alpha_0\))也同樣會是零。這樣的好消息能讓我們將上式進行一番簡化。 (當然也不能肯定一定不會有人反著幹！ 而如果你真打算給垂直尾翼採用非對稱翼型，那就還是乖乖使用完整的上面式子去算吧！)

除此之外還要多加上一條限制：我們的偏航穩定性分析，以及包含本系列後面全部的穩定性分析，只考慮小幅度偏移的情況！。這樣的假設可以再一步讓我們更加簡化分析計算式。不過這樣的假設並不是沒有道理的。不像單擺力矩非常單純所以可以 360 度全適用，當偏航(或其它姿態其實也是)的偏移角度過大的時候，翼面就會發生氣流分離的現象 ^[4] 而使機翼的力學反應變得相當複雜而難以分析；即便還未到發生氣流分離的情況，在接近失速攻角時的升阻力變化趨勢也會脫離線性 ^[3] 而難以計算。並且更加現實的，如果你的飛機真的不幸飛出那樣那角度的偏移姿態，也許你更該優先考慮的問題可能不是還穩不穩定的問題，而是飛機結構會不會被吹散的問題了！而如果你說：「我就是那種高大上的飛機的設計師，確實就是需要考慮大攻角、大側滑等的飛行狀態。」那我只能說若你真的需要造那種飛機，那本系列的內容肯定是遠遠不夠的。如果讀者真的就是有興趣想要妥善處理那種情況的話，建議還是去報考正規的航太科系去系統化深入學習了！

總而言之，在只考慮小幅度角度偏移的情況下，尾翼阻力造成的轉向力矩基本可以忽略不計。首先是在小角度的範圍內 sin() 函式的值本來就不大，相較於升力那邊的 cos() 本來佔比就低，然後阻力係數在正常機翼工作範圍內大約又比升力係數小了兩個數量級 ^[3]，兩相綜和之下就讓我們可以名正言順的直接刪除掉阻力項的部份。此外又因為對稱翼型的採用而使翼型力矩係數為零，使得我們可以將上面的力矩方程式簡化為：

\[ M = -l_v \frac{1}{2} \rho v^2 S_v \mathit{C_l}(\psi) \cos(\psi) \]

其中按照往期內容 ^[3]，翼型的升力係數可以近似為：

\[ \mathit{C_l}(\psi) = {C_l}_\alpha ( \psi - \alpha_0 ) \]

Tip	這個時候你或許在想「我打算製做的飛機的 \({C_l}_\alpha\) 是多少啊？我不知道啊！」但其實不知道實際數值也無所謂的，看到後面你就會知道它其實在本篇範圍內的分析中沒什麼關鍵影響力，所以只需要知道它的存在就可以了！甚至於在本篇討論的範圍裡，空氣密度、氣流速度等數值，同樣都不對我們關注的穩定性等產生任何影響，同樣只需知曉其存在即可，而無需過度的糾結其數字來源。

上式的 \({C_l}_\alpha\) 為一個常數，意義就是翼型的升力係數隨攻角增加的斜率。此外由於對稱翼的零升力攻角(\(\alpha_0\))為零，因此將上式帶入前面的力矩方程式後，成為我們最終得到的偏航力矩方程式：

\[ M = -l_v \frac{1}{2} \rho v^2 S_v {C_l}_\alpha \psi \cos(\psi) \]

下一步將這個方程式對偏航角(\(\psi\))進行微分(過程我就略過了)，得到：

\[ \frac{dM}{d\psi} = -l_v \frac{1}{2} \rho v^2 S_v {C_l}_\alpha ( \cos(\psi) - \psi \sin(\psi) ) \]

平衡點與穩定性

有了力矩式和力矩的微分式之後，接下來就可以計算偏航姿態的平衡點和穩定性了。當飛機達到偏航力矩平衡，就表示總力矩和為零，即：

\[ M = 0 \] \[ -l_v \frac{1}{2} \rho v^2 S_v {C_l}_\alpha \psi \cos(\psi) = 0 \] \[ \psi \cos(\psi) = 0 \]

最後得到當偏航角為零(\(\psi = 0\))、或為正或負 90 度(\(\psi = \frac{\pi}{2}\) 或 \(\psi = -\frac{\pi}{2}\))時達到平衡的狀態。但由於偏航正負 90 度已經遠遠脫離前面的「小幅偏移」條件範圍，因此不予考慮。也就是我們的飛機只有在偏航角為零的時候達到力矩平衡，而這應該符合我們設計一架正常飛機時所期望的結果。

確認了偏航姿態的平衡位置為零之後，那麼飛機是不是能夠穩定維持在這個狀態下呢？於是讓我們將偏航角零帶入上面的微分式看看結果如何：

\[ \frac{dM}{d\psi} = -l_v \frac{1}{2} \rho v^2 S_v {C_l}_\alpha ( \cos(0) - 0 \sin(0) ) \] \[ = -l_v \frac{1}{2} \rho v^2 S_v {C_l}_\alpha ( 1 - 0 ) \] \[ = -l_v \frac{1}{2} \rho v^2 S_v {C_l}_\alpha \]

只要上面這條式子能小於零，那就表示飛機在此狀態下具有穩定性。由於空氣密度、氣流速度、尾翼面積、和尾翼升力係數斜率這些值都肯定大於零，因此真正的影響只剩下垂直尾翼與飛機質心的距離(\(l_v\))了。雖然理論上距離肯定只能是正的，但其實用「距離」來描述是屬於過於口語化的說法，而實際上這個 \(l_v\) 真正的意義應該解釋為在飛機的縱軸上，垂直尾翼相對於飛機質心的位置。也就是說這個 \(l_v\) 可以是負值，當它為負的時候，表示垂直尾翼位在飛機質心的前面。

依據微分式的結果來看，只要 \(l_v\) 是正的，微分值肯定就小於零，即俱備穩定性；反之若 \(l_v\) 是負的則屬不穩定。翻譯成更加白話的意思那就是：只要你把垂直尾翼安裝在飛機尾巴，那就能得到偏航穩定性；反之若你把垂直尾翼安在飛機頭，那就是偏航不穩定的！這結果似乎也完全符合我們的生活經驗直覺預期。

現實難行之處

前面的分析內容也許對於我們理解飛機的偏航穩定性有所幫助，但若你打算依此嘗試打造自己的飛機，應該很快就會發現問題！在前面的分析中，唯一的力矩來源只有垂直尾翼。因此你的尾翼只要不是那種插在機頭上的奇葩造型，只要是插在機尾、只要是插在質心後面合理的距離上，那麼你會發現哪怕尾翼面積只有 \(1 {cm}^2\) 也能得到偏航穩定的結果。然而若你真的這麼造飛機，那麼實際飛起來到底穩定不穩定可就不好說了！

造成上面描述的問題的原因，在於我們在分析中只考慮了垂直尾翼會對飛機的偏航產生力矩，然而實際情況下產生偏航力矩的可並不只有垂直尾翼，而是機身、主機翼、和其它東西都可能會對偏航力矩產生貢獻，都可能對飛機的偏航穩定產生正面、或負面的影響。也就是說，垂直尾翼會需要去抗衡如機身和主翼所產生的不穩定因素，從而使飛機達到穩定。然而為什麼在前面的分析中並沒有將這些飛機上其它部份的影響納入考量呢？原因就是這些東西所造成的空氣動力效果實在太難被計算了！不像尾翼它就是個正經的小機翼，可以透過翼型資料輕易的計算出在不同氣流角度下的升阻力，但飛機的機身呢？機身在偏航角下所產生的偏航力矩該如何計算？尤其我們還可能會製造出各種奇形怪狀的機身造型的情況下會更加困難！ (主機翼對偏航造成的影響也是相似的，雖然主翼的確定性會更加高些。) 對於這樣的情況其實我們還有其它辦法，比方說將機翼的外型建立出來後放進 CFD 程式跑模擬，或者就直接造出模型然後拿去風洞吹一吹也是可以得到我們需要的氣動參數。然而問題是在需要進行靜態穩定性分析的時候通常是在初步設計或概念設計的階段，而這時候你的機身外型乃至可能整個飛機的外型都還處於相當模糊的狀態，又要怎麼跑 CFD 和風洞實驗呢？這就是為什麼前面的偏航穩定性分析沒有辦法考慮機身等其它部位影響的原因了。因此造成前面的內容對於理解穩定性原理很有用處，卻基本無助於實際造飛機的結果。

當然對於實際設計飛機來說是不至於這樣就讓我們束手無策。雖然詳細的偏航穩定性可能需要等到飛機設計的許多細節更加確定下來的時候才能夠進行分析與修正，但是在初始階段我們可以依據過往的經驗公式(也就是前人們造飛機後的經驗總結)來粗略估算所需要的垂直尾翼面積。由於其中的內涵在於經驗，也可以理解為某種並不確實肯定的玄學，因此那部份內容對於理解原理可能幫助不太大，但對於實際造飛機很有用處！

經驗估算法

前面解釋了垂直尾翼的穩定原理，但對於你想要實際動手造飛機的情況卻可能沒有太大幫助，於是通常我們在決定垂直尾翼該造多大的時候，會使用更加簡單粗暴的方法來做估算。垂直尾翼的估算式為：

\[ S_{vt} l_{vt} = S_w b_w K_{vt} \]

其中：
\(S_w\) 為主翼面積；
\(b_w\) 為主翼翼展(就是主機翼最左邊端點到最右邊端點的距離)；
\(S_{vt}\) 為垂直尾翼面積；
\(l_{vt}\) 為垂直尾翼氣動中心和主翼氣動中心之間的水平距離；
\(K_{vt}\) 為垂直尾翼經驗參數。

另外除了垂直尾翼之外，水平尾翼也有非常相似的經驗估算式。雖然本篇重點在於偏航而非俯仰，但因為這兩東西太相像也太關聯，因此這邊就先一起提了。水平尾翼的估算式為：

\[ S_{ht} l_{ht} = S_w c_w K_{ht} \]

其中：
\(c_w\) 為主翼的等效平均翼弦之弦長；
\(S_{ht}\) 為水平尾翼面積；
\(l_{ht}\) 為水平尾翼氣動中心和主翼氣動中心之間的水平距離；
\(K_{ht}\) 為水平尾翼經驗參數。

上面兩個估算式的原理，其實就是將主機翼視為是最主要的不穩定因素來源，然後讓尾翼去負擔起平衡與穩定的作用。因此就看到上面兩估算式核心就是主翼產生的力矩要能被尾翼產生的力矩給抗衡。力矩等於力乘力臂，而作為翼面，無論主翼還是尾翼所處的氣流條件都是幾乎相同的，因此力的大小就直接正比於翼面積了，這就是算式中各翼面積的代表意義。

相較之下，力臂的選擇差異就比較大了。由於需要使用上面兩式進行估算的時候通常是在概念設計時期，飛機的大部份參數都還處於一個混沌的未定態，重心的實際位置也並不是很確定，因此就看到在算式中採用尾翼與主翼之間的距離來作為尾翼的力臂長度。反正通常情況下，主翼的氣動中心差不多就在飛機質心的前後附近而已，所以這樣的假設估計在粗糙準確度上算是可以的了！定完了尾翼的力臂之後，那主翼的力臂該採用什麼呢？由於主翼氣動中心與飛機質心的距離通常大致正比於主翼平均翼弦的長度，因此就直接選用主翼平均翼弦長來充作主翼力臂了；雖然粗糙且帶有誤差，但作為估算是夠用了。不過上面那是對於水平尾翼的俯仰問題而言如此，但在偏航的方面使用主翼平均翼弦長就不是很切合實際了！對於偏航的情況來說主翼對偏航軸的影響是正比於主翼寬度，也就是主翼翼展長，因此就看到在垂直尾翼的估算中，主翼的參考力臂採用的是主翼翼展而非主翼翼弦。

Tip	這兩個估算式是用來在設計最初的時候估計尾翼的面積與距離使用的。通常我們會將主翼的參數視為已知值，因為主翼的參數與飛機的總體性能直接關聯，因此通常會最先決定好主翼的大致參數，然後才要決定要給它配個什麼樣的尾翼來平衡穩定。甚至於可能有時候連尾翼要放在什麼位置都已經大致劃定了，因此這兩式最主要的作用就是用來決定尾翼的粗略大小。意思就是說，這裡在看待上面的估算式時，要知道我們預期的未知變因只有尾翼的大小，頂多再加上它們的力臂長度而已。

經過上面的解釋，你會發現當中明顯可見的帶有相當份量的誤差。雖然在趨勢上來說可能是符合上面的邏輯的，但畢竟許多參數的選用本身就並不精準，結果自然也會與現實產生相當份量的偏離，那該怎麼辦呢？於是接下來就是當中最重要最關鍵，卻也是最玄學的部份了：\(K_{vt}\) 和 \(K_{ht}\) 參數。這兩個參數實際就是個比例係數，就是用來修正上面提到的那些誤差用的。其值的來源並沒有什麼太多的道理邏輯，就是個經驗參數。甚至於估算式只考量了主翼的影響，那機身呢？其它外凸內凹的設備呢？於是這所有的一切未知，就全部化入這兩個經驗參數，一起處理掉了！

那麼這兩個如此重要卻又如此魔法的參數究竟該如何決定呢？既然叫作經驗參數，那意思就是只要我們自己設計製造過一百架不同型態的飛機，應該就會摸索出來一個合理的數值。當然實際上這個經驗並不一定需要我們自己淌過，直接參考前人的經驗之後自己挑選一個心裡覺得喜歡的數字可能是個更加實際的做法！因此下面就列舉一些別人整理好的幾種不同飛機的這兩參數給大家參考使用：

Table 1. 尾翼體積係數表 ^[5]
Type	\(K_{ht}\)	\(K_{vt}\)
滑翔翼	0.5	0.2
手做飛機	0.5	0.04
民用單引擎	0.7	0.04
民用雙引擎	0.8	0.07
農用	0.5	0.04
雙渦輪螺槳	0.9	0.08
噴射教練機	0.7	0.06
噴射戰鬥機	0.4	0.07
軍用運輸/轟炸機	1	0.08
民用運輸機	1	0.09
飛行艇(水用)	0.7	0.06