姿態穩定 3：穩定性分析
本篇要開始真正進入靜態穩定性分析的部份了。 但考量到許多讀者可能並沒有接觸過工程學科相關的學習與訓練， 因此為了避免發生看不懂天書的挫敗感，我認為還是要先來點簡單的內容， 來入門熟悉有關靜態穩定性分析所需要的一點點數學工作。
練習範例
Figure 1. 單擺 [1]
單擺就是一根棒子，一端綁了個重物，另一端固定在一個軸上，如同上圖(Figure 1)那樣的東西。 既然單擺擺臂的一端固定在轉軸上，自然就可以任意轉動到任何角度。 雖然生活經驗已經告訴我們擺錘的自然位置就是落在最低處， 但且先讓我們假裝不知道這件事，然後試著去分析看看能不能用數學的手段來得到同樣的判斷！
Figure 2. 4 個代表性的單擺擺錘所在位置 [1]
雖然自由旋轉的單擺可能可以轉到任何角度，但為了簡單化理解，這裡只挑了四個最具代表性的擺錘位置， 如上圖(Figure 2)所示。 其中的 2 號位置和 4 號位置一看就知道受力不平衡， 擺錘的下拉重量會導致它不可能在沒有外力干涉之下停留在那個位置上； 而 1 號位置和 3 號位置則是力平衡的，也就是說單擺是有機會停著不動的待在這兩個位置上。 只不過如果你要在家裡自己嘗試讓單擺停在 1 號位置的話，那你得非常小心的擺的非常正的在正中央才行， 而且一點點誤差都不能有，甚至連門窗都要關好，冷氣和電風扇都要關掉才可能有機會完成。 所以在實際開始上手計算之前，光靠著生活經驗我們就知道： 2 號和 4 號位置不是受力平衡的位置； 而 1 號和 3 號位置是受力平和的位置； 但其中 3 號位置不只受力平衡，且還是穩定狀態； 而 1 號位置雖受力平衡，但不是穩定狀態，經受不了一點點的擾動。 那麼接下來就讓我們看看計算的結果是不是符合這樣的判斷吧！
Figure 3. 單擺偏角與受力示意圖 [1]
我們先給這個單擺定義各參數的符號與意義，如上圖(Figure 3)所示。
其中：
m 是擺錘質量；
l 是擺臂長度，並且這裡假設擺臂質量佔比非常小，以至於擺臂質量可以忽略不計；
\(\theta\) 是單擺的位置，這裡定義為垂線與擺臂的夾角，逆時針方向為正，順時針方向為負；
mg 就是擺錘質量 m 乘上地表重力加速度常數 g，即為擺錘的重量施加在單擺系統上的力；
F 是擺錘的重力在繞軸的切線方向上的分力，是真正對繞軸旋轉力矩有所貢獻的部份；
M 是擺錘重力對弦轉軸方向所產生的力矩，逆時針方向為正。
其中若有對數學不太熟悉的讀者，會需要注意一下關於力矩和旋轉的部份容易產生的混淆：
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力矩(M)方向和擺臂偏轉角(\(\theta\))的定義方向是一致的，都是逆時針為正，順時針為負。
因此當單擺向右方偏移一個小角的時候，擺錘就會產生一個將單擺拉回的力矩， 然而因為這時候這個力矩的作用方向是順時針的，又這裡定義逆時針為正， 因此這時的力矩值在計算上其實是負的。 反過來說，若單擺向左方偏移小角，那麼這時產生的力矩就是正的值，不過偏移角就成了負的值了(\(-\theta\))。
之所以這麼定義是為了讓它們的方向定義是統一一致的，這在做數學計算的時候才不會產生某些歧異的問題， 然而缺點就是對不熟悉計算的人會稍微比較反直覺了！
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在數學計算中使用的角單位都是徑度(radian)而非角度(degree)。
這目的當然也是在數學計算上比較直接方便又簡單的緣故，然而缺點同樣也是比較不符合一般生活使用的習慣。 若套用到上面示意圖(Figure 3)上的話，則：
1 號位置的偏移角為 \(\pi\) 或 \(-\pi\) (順時針轉半圈或逆時針轉半圈，會到同一個位置)；
2 號位置的偏移角為 \(\frac{\pi}{2}\)；
3 號位置的偏移角為 0；
4 號位置的偏移角為 \(-\frac{\pi}{2}\)。
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Note
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雖然說本篇是針對未接受過工程數學教育的讀者準備的，會儘量深入淺出引導理解，
數學的部份儘量也只展示簡單的部份，也不要求讀者必須理解和熟練微積分才能讀懂文章內容，
但是關於三角函式的知識還是必需要俱備的。
若是國中以下的讀者，建議在閱讀本篇、以及本篇以後的同系列文章前，
需要先學習理解有關三角函數的知識
[2]
[3]
。
也不是說需要對三角函數先有多麼透澈的理解熟練，只是至少對三角函數是什麼的基本定義，
如 sin()、cos() 是什麼，以及它們畫出來的圖形長什麼樣子，
什麼時候數值會是 0，什麼時候數值會是 1 等等要有個概念就行了。
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平衡狀態分析
了解完對示意圖的各種符號定義後，現在可以開始計算些東西了。 首先要計算的就是單擺所受到的轉動力矩(M)：
\[ M = -F \cdot l \] \[ M = -mg \cdot \sin(\theta) \cdot l \]
現在有了力矩方程式，我們就可以第一步先來分析哪些偏移角(\(\theta\))能夠達到力矩平衡的條件？ 要達到力矩平衡，那就是單擺受到的力矩總和為零，也就是：
\[ M = 0 \] \[ -mg \cdot \sin(\theta) \cdot l = 0 \] \[ \sin(\theta) = 0 \]
因為擺臂長度(l)和擺錘質量(m)都不為零，因此只有 \(\sin(\theta)\) 為零的時候才能讓力矩為零。 那麼什麼時候 \(\sin(\theta)\) 會是零呢？ 就是 \(\theta\) 等於 0、或等於 \(\pi\)、或等於 \(-\pi\) 的時候了。 對應下來就是示意圖(Figure 2)中的 3 號位置、和 1 號位置，與我們預期的結果相符合！
穩定性分析
現在我們已經知道擺錘在 1 號和 3 號位置是力平衡的，但是它能否穩定待在那個位置上呢？ 如果單擺受到了一點點的擾動導致位置發生一點點偏移，它是否具有回復原位置的趨勢呢？ 於是接下來就要進行靜態穩定性的分析了。
如果說單擺的某個狀態是穩定的，那就是當擺錘往右邊偏移時，會產生往左邊拉扯的力矩； 反之往左邊偏移時要產生往右邊拉扯的力矩。 翻譯成符合示意圖(Figure 3)視角的話語，那就是： 當 \(\theta\) 變大時，M 要變小(注意 M 可能是負值，所以往負的方向更多，那就是值變的更小)； 當 \(\theta\) 變小時(注意 \(\theta\) 也可能是負值)，M 要變大。 也就是說，力矩值 M 隨著偏移值 \(\theta\) 的增加會往返方向走，畫成圖那就是斜率往下走的意思； 其實也就是 M 對 \(\theta\) 的微分結果必須為負值。 只有在力矩對偏移的變化斜率為負， 也就是微分後的結果為負時，才是(靜態)穩定的狀態，反之則為(靜態)不穩定！
知道大家不會算數學，所以我直接把微分做好了。 對上面的力矩方程式微分後的結果如下：
\[ M = -mg \cdot \sin(\theta) \cdot l \] \[ \frac{dM}{d\theta} = -mg \cdot l \cdot \cos(\theta) \]
從上面的結果可看出，力矩的微分值不是一個定值，而是會隨著偏移角度的不同而不同。 那我們就分別帶入所關心的兩個平衡點位置的偏移角下去。
當 \(\theta = 0\) 時：
\[ \frac{dM}{d\theta} = -mg \cdot l \cdot \cos(0) \] \[ = -mg \cdot l \cdot 1 \] \[ = -mg \cdot l \]
當 \(\theta = \pi\) 時：
\[ \frac{dM}{d\theta} = -mg \cdot l \cdot \cos(\pi) \] \[ = -mg \cdot l \cdot (-1) \] \[ = mg \cdot l \]
當 \(\theta = -\pi\) 時：
\[ \frac{dM}{d\theta} = -mg \cdot l \cdot \cos(-\pi) \] \[ = -mg \cdot l \cdot (-1) \] \[ = mg \cdot l \]
觀看以上結果，在 3 號位置(\(\theta = 0\))的微分值為負值，表示其為靜態穩定； 而在 1 號位置(\(\theta = \pi\) 或 \(\theta = -\pi\))的微分值為正值，表示其為靜態不穩定。 這樣的結果也同樣與我們一開始就知道的結果相符合！
為什麼需要分析？
看完上面的內容後，不知道會不會有些讀者想要脫口而出這些話語： 「結果長篇大論算了半天你就給我看這個？」 「算了老半天，又微分、又畫圖的，才終於算出了我們早就已經知道的結果！」 「這還需要計算嗎？我光用眼睛看都看出來了！」 「我光眼睛一看就知道只有 3 號位是平衡穩定的，然後其它位置都不行。這還需要計算才能知道？」 既然如此，那麼分析的意義又在哪裡？又為什麼需要分析呢？
其實會造成這樣疑問的最大因素，來自於本篇選用一個受力狀態非常簡單單純的單擺系統。 因為分析的問題太簡單，以至於容易產生對於存在意義的懷疑。 然而若面對受力情況更加複雜的實際情況，比如本系列接著後面要分析的飛機各姿態與氣流的穩定性問題， 那麼可能就沒能這麼直覺的「用眼睛看」就能看出結果。 其實與讀者可能產生的疑惑不同，這些計算分析方法正是為了簡單化的目的而存在的！ 特別是在遇到複雜問題時，往往再難以使用生活經驗和直覺、或是人腦短暫的推理去判斷其穩定性， 反而這時候只要代入數學式一算，結果是大於零還是小於零，就清清楚楚明明白白了！ 而本篇之所以選用如此一個簡單的題目來做計算， 其目的也是為了能讓我們花費更多心力在於理解和學習穩定性的分析方法，而非耗費在系統受力狀態上面。 並且就是因為這道題目如此簡單直覺，更方便我們將早已知道的結果和自己的計算結果互相比對印證。
除此之外，計算分析也有助於幫我們決定一些細節內容，而這部份難以用直覺去做決定。 比如說假設我們要自製一架手擲滑翔機， 也許我設計的夠保守，所以「用眼睛看」就能夠大概決定尾翼的大小和位置， 但是尾翼的下傾角度應該給多少呢？ 這時候你不去算一下，真的就用直覺、用眼睛這樣「看」就能看出結果了嗎？
總結
本篇介紹入門，並透過範例來練習靜態穩定性的分析計算方法。 這樣的計算分析方式主要具有兩項價值： 可以在複雜系統上簡化對系統狀態是否穩定的判斷， 以及可以用來決定細節參數(只不過可能對於那些高大上的飛機設計來說，這樣的程度也只算是粗略而已)。
最後要注意，我們的分析關注的其實是兩個問題， 一個是是否俱備穩定性，另一個是是否受力平衡。 穩定性描述的是系統是否具有反向對抗偏移的趨勢，然而它最後會穩定待在哪個位置呢？ 而這個最後的位置就是受力平衡的位置了！ 可能在常見的大部份情況裡，這個穩定性和力平衡點都是由同一個裝置負責的， 以至於我們可能會容易忽略掉這兩東西的分別差異。 然而在後續篇章裡能見到有些設計會分開處理這兩東西， 由一個設備來主要解決穩定性問題，另一個設備主要解決平衡點問題的情況。 因此還是需要讀者在概念上能夠區別穩定性與平衡位置這兩要素的差別。
以本篇所使用的單擺習題為例。 當單擺能達到平衡時(我們關注的主要是力矩)，總力矩為零(\(M = 0\))， 這就是平衡位置，是系統有機會長期停留的狀態； 至於在那個狀態下是否俱備穩定性，則看力矩對偏移的微分是否小於零(\(\frac{dM}{d\theta} < 0\))。 若對應到之後陸續講解的飛機姿態平衡內容， 則微分結果是否小於零是決定姿態是否平衡的因素，而力矩總和為零的位置則是飛機最終達到平衡的姿勢。
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