
活塞引擎 8:功效分析 之 基礎原理
本篇要從比較理論的方式,從物理化學的角度去計算活塞發動機的做功和效率, 目的是為了讓讀者可以從基礎科學的視角去完全明白活塞發動機運作原理的本源。
雖然整個活塞引擎的結構看上去挺複雜,然而將它們一一拆解分類之後,從原理概念上來看卻沒有那麼複雜。 那些動來動去、彎來拐去的機械結構,比如鏈條、汽門、凸輪軸、油泵等等等等, 其實它們的作用只是為了服務引擎使能正常運作, 甚至是曲軸、連桿這些大零件也只是用來傳遞動力、改變作用力方向等作用。 這些那些的複雜零件在運作的過程雖然會消耗掉發動機的功率, 但是首先它們大部份效率都非常高,總共吃掉的功率雖不至於小到能夠被完全忽略,卻也沒有大到值得過度關注。 並且它們只消耗功率而並不產生功率,將它們仔細推敲設計到極致確實也是各廠商努力在做的事情, 但是基於前述原因,提升這些零配件的效能最終為引擎整體帶來的性能提升非常非常有限。 這就好比有一句投資理財的名言:「你沒辦法靠著節儉成為大富翁,要帶來階級式的跨越必須得從開源著手!」 (這句話本身隱藏了更多投資理財上的限制條件和但書,還好在討論發動機的情況下我們可以完全忽略它!)
這樣說起來,那麼引擎上的什麼地方才是真正能量與功率的主要產出地,左右整體性能的關鍵之所在呢? 那就是汽缸、活塞、與氣體了。 真正決定一款發動機主要性能數據的絕對重量級影響力,都是發生在汽缸裡面的一切。 掌握了在汽缸裡面發生的事情,才能夠從源頭抓住一顆引擎的核心性能。 這就是為什麼那些講理論的學者在上課的時候,基本只盯著一個汽缸裡面所發生的事情在研究分析的原因了。 因此本篇的所有內容也同樣如此,我們聚精會神,目光鎖定在汽缸裡面所發生的一切:進氣、壓縮、燃燒、膨脹。
另外補充一點,我們只需要考慮一個汽缸就可以了,因為多缸引擎的配置就是把單缸的結論乘以 N 而已, 剩下的就是機械設計與系統佈置的細節了。
認識氣體特性


首先我們得先來學習一些氣體的基本物理特性。 對於氣體,不論是空氣、水氣、還是混合了汽油的油氣、或是其它什麼氣體, 它們的三個狀態數值是我們所關注的重點,那就是:體積、壓力、與溫度。 所有使用燃燒的熱量來玩空氣的引擎,都是在將氣體的這三個狀態玩來玩去而已。
如上圖所表現的情況一樣,很符合我們在日常生活中對於氣體的直覺理解。 當我們對一團氣體進行加熱,那麼它的溫度就會上升(好像是廢話), 此外連帶的它的體積和壓力也都會有同步增加的趨勢。 以 Figure 1 為例,我們將氣體裝在一個大氣球裡面加熱。 不用擔心這個氣球會不會破掉還是融化的問題,因為這氣球是用亞德曼橡膠製成的無限彈性氣球, 所以氣球內被加熱的氣體可以無限制的膨脹變大。 那麼在此條件之下,氣體的壓力就維持不變,只有體積和溫度會往上升高,這就是熱力學理論中的「等壓過程」。 另一種情況則是像 Figure 2 那樣,將氣體放在一個硬桶子裡面進行加熱。 不用擔心這個桶子會不會爆炸、變形的問題,因為這桶子是用鋼彈尼姆合金製成的。 那麼在此條件之下,氣體的體積就維持不變,只有壓力和溫度會往上升高,這就是熱力學理論中的「等容過程」。
為什麼叫作等壓過程或等容過程,而不是叫作等壓加熱或等容加熱呢? 因為這些氣體的特性是對稱的,並不是只有在加熱過程中才是如此,在降溫過程中同樣如此。 比如我們將上圖的東西放進大冰箱裡面降溫, 則大氣球內的氣體溫度會降低,同時氣球也會愈來愈小,因為氣球裡面的氣體體積在不斷縮小, 不過從頭到尾氣球內的氣壓都沒有變化就是了。 同樣的,鋼桶內的氣體溫度也會降低,可是因為鋼桶的形狀不變,所以氣體體積從頭到尾都是一樣的, 只是氣壓下降了。 這時如果你將已經足夠冷卻降溫的鋼桶蓋子給打開,外面的空氣就會因為桶內的低壓而颼的一聲被吸進去。
以上我們是透過人工控制氣體溫度,然後觀察它的體積和壓力邊化,都還算符合一般生活直覺。 然而溫度、壓力、體積這三者的變化其實是互相都能影響彼此的, 比方說我可以施力給氣體增加壓力,那麼氣體的溫度會上升、體積會縮小。 體積縮小還算符合一般人的直覺,畢竟我給它加壓了嘛, 但是氣體會隨著增壓而升溫的部份可能就不在所有人都有經驗過的直覺裡了,但是它的溫度確實真的會上升。 其實若有仔細觀察生活經驗也並不是完全不能發現這些氣體行為。 比方有操作過手動打氣桶給東西打氣的讀者,可能會發現每當打氣完成後,打氣桶的下端都會溫溫熱熱的, 只不過可能分不清楚到底是因為活塞和汽缸接觸摩擦所生的熱,還是由於壓縮了空氣所生的熱而已。
但是另外一種生活經驗肯定可以從相反的方向應證氣體溫度隨壓力變化的事實。 當我們操作任何的手持式噴霧罐操作時, 不論是用來清潔灰塵的壓縮空氣噴罐、殺蟲劑噴罐、還是玩具瓦斯槍的瓦斯噴罐等等, 當我們持續一段時間連續操作噴霧後,一定能明顯感受到罐子會變得冰冰涼涼的, 而這就是氣體因為持續膨脹減壓而連帶造成的溫度下降現象。
理想氣體方程
以上都是對於氣體特性基於定性的講解, 而如果想要知道這些氣體特徵具體變化的量,就不得不接觸一些數學公式了。 於是本節要來介紹一些氣體方程式。
首先介紹的是萬用的理想氣體方程式, 它的好處是比起後面介紹的幾個方程式,這個理想氣體方程幾乎是在什麼過程下下都能適用:
\[ P V = n R T \]
其中:
P 為壓力,單位為 Pa,即 \( \frac{N}{M^2} \);
V 為體積,單位為 \( M^3 \);
T 為溫度,單位為 K,就是一般攝氏溫度加上 273.15 就是了;
R 為理想氣體常數,是一個固定的數字(8.3144626);
n 為氣體的分子的數量,單位為莫耳。
上面出現了一些可能比較難以理解的東西,比如分子莫耳數等, 但是其實這些東西在我們的應用中會被化簡掉,所以其實不理解也不重要,而且我也不想去解釋它, 所以如果看不懂其實也沒關係。
上面這個理想氣體方程式在本篇中是被用來計算固定的一團氣體在兩個不同狀態下的變化關係。 比方說我們把一團空氣從狀態 1,給它加熱、加壓、或壓縮、膨脹、還是散熱降溫等等,不管, 反正最後這團空氣變成了狀態 2。 那麼這兩個狀態下的空氣同樣都滿足上面的理想氣體方程式,也就是:
\[ P_1 V_1 = n R T_1 \] \[ P_2 V_2 = n R T_2 \] \[ \frac{ P_1 V_1 }{T_1} = n R = \frac{ P_2 V_2 }{T_2} \] \[ \frac{ P_1 V_1 }{T_1} = \frac{ P_2 V_2 }{T_2} \]
我們就用前面的氣球和鋼桶的例子來練習一下,假設初始狀態也就是狀態 1,是一般情況下的室內空氣。 那麼我們取用 1000 公升的空氣來做範例實驗,也就是說:
\[ P_1 = 101325 Pa \] \[ V_1 = 1000 L = 1 M^3 \] \[ T_1 = 26.85 ℃ = 300 K \]
然後我們將空氣加熱到比方說 600 K,也就是 \( T_2 = 600 K \),那麼: 氣球的那個實驗因為壓力不變,所以 \( P_2 = P_1 \), 那 \(V_2\) 就會變成 \( 2 M^3 \); 而在鋼桶實驗下因為體積不變,所以 \( V_2 = V_1 \), 那 \(P_2\) 就會變成 202650 Pa。
比熱容
我們將氣體加熱會導致氣體升溫,但是給了多少熱量會導致氣體溫度上升幾度呢? 這個問題在我們的發動機分析中頗為重要, 畢竟當我們需要計算效率的時候,就會需要知道我們到底丟了多少熱量進去? 於是本節要介紹一個重要的氣體特性參數:比熱容(Specific Heat Capacity),一般簡寫為 C。
\[ Q = C M \Delta T \]
其中:
M 為物體質量;
C 為比熱容;
\( \Delta T \) 為物體升溫或降溫的前後溫度差;
Q 為總共吸收或釋放的熱量。
比方說水的比熱容為 4200 (\( \frac{J}{kg·K}\)), 意義就是如果我要將 1 公斤的水(液態)升溫 1 度的話,會需要將 4200 焦耳的熱量丟進水裡; 反過來說也是一樣的,我丟入了 4200 焦耳的熱量可以讓 1 公斤的水上升溫度 1 度, 或者讓 2 公斤的水上升溫度 0.5 度; 當然再反過來理解同樣通用,如果 2 公斤的水溫度下降了 1 度,表示水放出了 8400 焦耳的熱量到外面。
此外一點需要注意,以上的條件只有在水為液態的時候才成立; 如果讀者您自己在家裡做實驗把它加熱太多到汽化了, 那麼汽化之後的反應就要比照下面描述的氣體計算法去做處理,而且還需要多考慮一個汽化熱的問題。
氣體比熱容
以上這個簡單的比熱容計算只能用在像是液體、固體類的東西上。 但是氣體不一樣,氣體能膨脹,而偏偏在不同膨脹狀況下的氣體的比熱容是不一樣的! 因此對於氣體,比熱容的原理和用法是一樣的,但是會分成兩個參數,比較複雜一點。 不像固體或液體只有一個比熱容 C,氣體的比熱容分為 \(C_p\) 和 \(C_v\) 兩個數字, 以空氣為例,空氣的 \( C_p = 1056.29 (\frac{J}{kg·K}) \)、\( C_v = 754.49 (\frac{J}{kg·K}) \), 要依據加熱或減熱的過程套用其中一個數字。 比如前面的鋼桶加熱過程就屬於定容的加熱,所以要使用 \(C_v\) (754.49) 來計算; 而前面的氣球加熱過程就屬於定壓的加熱,要使用 \(C_p\) (1056.29) 來計算。
我們發現空氣定壓加熱比定容加熱所需要的熱量多了不少,這是由於氣體會膨脹導致的。 在定壓的條件下,當我們給氣體加熱時,氣體一定會因為受熱而升壓, 那麼為了要維持氣體的壓力不變,就得讓氣體膨脹 (氣體增溫以後,要不就升壓,要不就膨脹,或者二者皆有之)。 而根據前面我們所學過的氣體狀態特性,氣體膨脹時會產生降溫的趨勢, 和我們加給它熱量導致的升溫趨勢正好互相對抗。 因此最終的結果就是,在定壓條件下,當我們給氣體投入熱量時,能夠使之產生溫度的增加量較少, 至少相比於同樣氣體在定容條件下是少了不少; 或者也可以說,當我們要給氣體增加同樣的溫度時, 定壓條件下將會需要更多的熱量,而定容條件下所需要的熱量就少得多。
回到我們的活塞引擎分析,雖然在燃燒過程中活塞仍處在運動狀態,理論上是壓力和容積同時在變化, 但是在理論分析的時候我們不會考慮的這麼複雜。 由於汽油油氣的燃燒速度非常快,因此我們會假設油氣在活塞達到頂點的時候瞬間燃燒完成, 所以採用的是定容加熱條件,使用 \(C_v\) 去做計算。 另外在此偷偷先告訴你,在渦輪引擎分析中,燃燒是在定壓條件下完成的, 所以會套用 \(C_p\) 做計算。
絕熱指數
前面解釋過為什麼氣體的 \(C_p\) 比 \(C_v\) 還要大的原因, 其實從物理動力能量的角度來解釋也是同樣說得通的。 事實上氣體在膨脹的同時也是在對外界做功的, 即便它做的功沒有被我們攔截下來並加以利用(比方說氣球的膨脹),然而它確實是對外做了功。 因此相比於定容加熱的情況,當我們在定壓條件下對氣體加熱時, 其實我們所投入的熱量當中有一部份是被氣體拿去膨脹做功了,因此氣體增加溫度的幅度自然較低 (氣體的溫度反應的是氣體自身的內能)。
每一種氣體都有自己的 \(C_p\) 和 \(C_v\) 值 [1] , 而我們前面說過該二值之所以存在差異主要是因為膨脹的因素所導致。 如果一種氣體特別容易產生膨脹和壓縮現象,那麼可知這種氣體自身的 \(C_p\) 和 \(C_v\) 差距就會愈大。 因此 \(C_p\)、\(C_v\) 差異愈大的氣體愈會具有明顯的膨脹與壓縮效應, 相反的該二值差距愈小的氣體則膨脹壓縮效應愈不明顯; 如果二值相等則表示該物質沒有膨脹壓縮效應,基本上這種東西就不能夠被稱為是氣體了! 因為同一氣體兩種比熱容的差異正好反應出氣體的膨脹壓縮效果, 因此我們也可以使用該二值的差異來表達氣體的可壓縮能力。 該二值的比值(是的是比值,雖然前面的描述可能會讓人以為是差值)有個熱力學上的專有名詞, 叫「絕熱指數」(Heat Capacity Ratio),簡寫為 κ。
\[ κ = \frac{Cp}{Cv} \]
由於 \(C_p\) 總是大於 \(C_v\),因此絕熱指數總是大於 1。 這個絕熱指數與氣體的膨脹能力直接關聯,並且在後面的各種分析計算中我們也會不斷看到它的身影。 回顧前面給出的空氣比熱容數值,我們可以知道空氣的絕熱指數大約就是 1.4。
膨脹、壓縮、做功

了解前面的氣體特性之後,我們將眼光放回汽缸與活塞上面。 如上圖所示,假設一個形狀中規中矩的圓柱汽缸內有一隻活塞。 如果我們用手將活塞從位置 1 推到位置 2 的話,我們的手需要出多少能量、做多少功呢?
假設汽缸內部截面面積為 A, 活塞在位置 1 的時候與汽缸頭的距離為 \(X_1\),此時汽缸內的空氣體積為 \(V_1\); 活塞到了位置 2 的時候與汽缸頭的距離為 \(X_2\),彼時汽缸內空氣體積為 \(V_2\)。 我們先暫時簡單化一下,暫時假設汽缸內的空氣壓力不會變化,也就是 \( P_1 = P_2 = P \), 晚一點再把壓力變化的因素加回來。 那麼從 1 到 2 的過程所需要的能量(E),按照機械功的定義,即為力(F)乘上移動距離:
\[ E = F ( X_1 - X_2 ) \] \[ E = P A ( X_1 - X_2 ) \] \[ E = P ( V_1 - V_2 ) \]
也就是說,活塞做功其實就是壓力和容積乘積的差。 接下來我們將上面的式子以積分的型式改寫:
\[ E = \int_{V_1}^{V_2} \mathrm{P}\,\mathrm{d}V \]
剛才我們做了一個不切實際的假設,那就是無論活塞怎麼壓縮空氣,空氣的壓力都維持不變。 這當然是不可能的事情,只是為了先簡化理解而不得不做的假設,那麼現在我們將這一部份的因素加回來。 雖然現在還不知道氣體壓力和體積之間的準確關係,但至少我們知道壓力和體積有關係,且隨體積改變, 那麼我們就假設壓力為體積的函式並改寫積分式:
\[ E = \int_{V_1}^{V_2} \mathrm{ \mathit{P}(V) }\,\mathrm{d}V \]
當然啦,如果 P 並不隨 V 變化,而是從頭到尾維持一個數值不變, 那麼從下面即將要說明的積分原理圖來看就會知道,這個積分式可以直接退化變成 \( E = P ( V_2 - V_1 ) \), 與前面我們沒用積分的結果相合。 (正負號的差異後面再說明)
Figure 4. 積分原理:將一條隨意曲線分割成三個區塊,然後把三個長方形的面積加起來就當作是曲線面積了!對於沒有學習過微積分的讀者請不要感到害怕! 這裡不會要你去推導解算微積分,這個事情我來做就好了,我們的重點在於理解。
積分的意義其實就是在算一條曲線下的面積,例如上圖(Figure 4)所示的汽缸內體積壓力關係圖, 我們要算的其實就是體積 \(V_1\) 到 \(V_2\) 之間,壓力變化線下面的面積。 對於這種需求而言,我們有一種很笨很原始的方法,就是把體積的部份切割為幾個區段, 以上圖示例來說我切了 3 塊區間,每一個區塊的寬度就是 dV。 管他壓力變化呢,在每個區間內我就假定壓力是固定不變的,這樣面積就好算了吧? 單一區塊內的面積就是 \( P \cdot dV \),然後把 3 個區塊的面積都加起來,這就是我們要的 P-V 總面積了。
當然我們看圖就會發現,這樣分 3 塊計算下來的樣子雖然有了,但誤差挺大! 如果要降低誤差使結果更加精準,我們可以切割為更多區塊來計算,30 塊、300 塊、3000 塊…… 如果我們將它切割為無限多塊,那麼算出來的結果就是零誤差的實際結果了; 而這,其實就是積分的原理,而上面的積分式也就是在表達一樣的意思!
那麼要繼續探究這個問題,我們就要知道當空氣體積變化的時候,壓力與之的對應關係了。 前面介紹過的理想氣體萬用方程式仍然可用,但顯然不太夠用, 因為我們知道空氣在壓縮的時候,溫度和壓力同時都會上升(相反在膨脹的時候二者同樣都會下降), 然而卻無法知道它們各自上升了多少? 因此這裡還要再介紹幾個有關的氣體狀態關係式, 這些式子不像萬用方程那樣萬用,而只有在絕熱可逆的情況下可以使用, 好在我們所在意的汽缸活塞壓縮和膨脹正好就符合這樣的條件,因此:
\[ P_1 V_1^κ = P_2 V_2^κ \] \[ T_1 V_1^{κ-1} = T_2 V_2^{κ-1} \] \[ T_1^κ P_1^{1-κ} = T_2^κ P_2^{1-κ} \]
上面三條算式中出現了很多眼熟的 κ,這就是氣體的絕熱指數,我們前面有解釋過, 因為我們討論的例子裡面裝的就是空氣,因此可以直接帶入 κ = 1.4。 這樣我們只需要知道活塞在某一個位置時的氣體狀態(P、V、T), 就可以算出活塞在另一個位置時的氣體狀態。 如果汽缸內初始裝的是一般室溫條件(101325 Pa、300 K)的 3 升空氣, 假設我們最終的狀態 2 會把空氣體積壓縮為原本的十分之一(也就是 0.3 L), 那麼透過上面三個方程(其實只要第一個就可以了)加上前面的理想氣體方程, 我們就可以算出位置 2 下壓力與溫度的各自數值了。 事實上不只可以算出位置 2 的氣體狀態,連活塞在中間每一個任意位置的氣體狀態都能夠計算出來, 結果就會如下圖(Figure 5 與 Figure 6)所示。


從圖表的呈現可以明顯看出,汽缸內空氣的壓力和溫度都隨著我們不斷壓縮缸內的空氣而增加, 此外壓力的增加比起溫度的增加是更為劇烈的。 相比於溫度隨著壓縮的升溫,壓力的增加趨勢明顯是更為急遽的指數級變化, 這個現象很重要,會貫穿整個功效分析過程。
關於這個現象我們可以這樣理解: 我們不壓縮,只靠加熱就能讓缸內氣壓增加,這點符合生活常識,很容易理解; 我們壓縮氣體也會直接導致氣壓增加,也很符合生活常識; 而壓縮過程同樣會導致氣體溫度上升,壓縮本來就會增加壓力了,這邊它又還升溫, 於是壓力就爬的更快了!
那麼活塞在任何一個位置(V)時的壓力(P)就可以表示為:
\[ P = P_{ref} \left( \frac{V_{ref}}{V} \right)^κ \]
上面的 \(P_{ref}\) 和 \(V_{ref}\) 可以選用任何一個已知條件下的氣體狀態, 可以選用 \(P_1\) 和 \(V_1\),也可以選用 \(P_2\) 和 \(V_2\), 看在做計算的時候哪一邊的數值更容易事先取得而定, 因此這裡才以 \(P_{ref}\) 和 \(V_{ref}\) 表示之。
知道了壓力隨體積的變化關係之後,前面的活塞做功算式就可以寫成這樣:
\[ E = \int_{V_1}^{V_2} \mathrm{ P_{ref}\left( \frac{V_{ref}}{V} \right)^κ }\,\mathrm{d}V \]
積分後的結果就是:
\[ E = \frac{ P_{ref} V_{ref}^κ }{ 1 - κ } \left( V_2^{1-κ} - V_1^{1-κ} \right) \]
然後你會發現,\(V_1\) 和 \(V_2\) 可以互相調換位置,算出來的數字是一樣的,只不過差了個正負號。 它的意義在於做功的方向,如果活塞從位置 2 移動到位置 1,那是活塞在對外面做功,所以最後的功是正值; 如果活塞從位置 1 移動到位置 2,那是外面在對活塞做功,活塞內的氣體吸收了外面的能量,因此這個功是負值。 這告訴我們一個重要的性質,在兩端條件相同的情況下,氣體壓縮所需要的能量和膨脹所放出的能量是一樣的。 意思就是說,無論活塞膨脹的時候產生的動力讓我們有多開心, 但是我們也需要付出同樣的能量才能把活塞推回那個位置!

最後別忘了考慮環境壓力在活塞運動中產生的作用。 如上圖(Figure 7)所示,汽缸內的活塞其實一直受到兩股氣壓的作用, 一個是缸內的氣壓,另一個是外面的大氣壓力(\(P_{atm}\))。 在壓縮的過程,我們的手除了要對抗缸內不斷增強的氣壓之外,外面大氣壓力其實也幫我們推了一把; 在膨脹過程,活塞除了受到內部高壓空氣推動之外,也同時需要對抗大氣壓力的阻力。 因此我們的活塞做功計算式其實需要修正一下,要扣除大氣壓力的影響; 不過還好大氣壓力自始至終維持同一個數值不變,所以大氣壓力對活塞所做的功計算就非常簡單。 修正後的活塞做功計算式如下:
\[ E = \frac{ P_{ref} V_{ref}^κ }{ 1 - κ } \left( V_2^{1-κ} - V_1^{1-κ} \right) - P_{atm} ( V_2 - V_1 )\]
膨脹做功
現在來快速複習一下四行程發動機的運作:壓縮空氣,加熱空氣,然後膨脹空氣。 這時會不會好奇一個問題:為什麼要壓縮空氣呢? 如同我們前面計算出來的結論,壓縮是需要耗能的, 而且需要的消耗的能量和膨脹時放出的能量一樣多! 那麼這樣繞了一圈路,非得要先壓縮再燃燒膨脹的意義何在呢? 存在即真理,壓縮步驟當然是有大用,因此我們真正的目的其實不是去解釋壓縮有沒有作用, 而是去理解這個壓縮的步驟到底在引擎的原理中扮演什麼角色、起到何種作用?
剛才我們已經研究過如果用手去推動活塞壓縮空氣所需要的能量, 那麼現在反過來看看,當氣體從高壓之下膨脹時能做多少功?
因為壓縮和膨脹的過程是完全一模一樣的,因此上面的圖表和算式都可以拿來直接套用。 我們知道氣體的壓力隨著汽缸容積的變化,分佈的極不平均, 壓力幾乎全都聚集在圖表最左邊的區域。 因此我們知道活塞在膨脹運動的初始階段其實是最能夠做功的時候, 然後隨著氣體繼續膨脹,活塞也繼續推動繼續出力,但是能釋放出來的能量就愈來愈有限了。 為此我也做了一張圖表如 Figure 8, 圖表的意義為這個汽缸如果在此例的膨脹過程中,到了某一個容積後就讓它停下來的話, 那麼活塞至此為止能夠釋放多少機械功出來? 例如當汽缸內空氣從 0.3 L 膨脹到 1.0 L 為止的話,活塞大約做了 600 J 的功; 如果繼續膨脹到 1.5 L 的話,那麼活塞大約累計做功 800 J。 而大約在 2.0 L 的位置,活塞的機械能量都差不多已經釋放完了, 往後繼續膨脹下去雖然還能夠再繼續做功,但是增幅範圍已經非常小了。
這個結果很重要,我們從前就提過一般活塞引擎因為曲軸機械結構的原因, 基本沒辦法讓氣體膨脹到完全沒力為止,而是活塞到底了就停了,接下來活塞得往回走, 然後這些還有膨脹力的燃氣只好被捨棄並排放掉; 然而這張圖表卻告訴我們雖然以上的理論是正確的, 但是被浪費掉的能量其實可能並不會太可觀,還在一個可以接受的小幅損失範圍內。

壓縮的意義(動力循環分析)
剛才前面都還在玩手推壓縮再膨脹回來的遊戲, 單純就是在了解壓縮和膨脹而已,但是我們手上的這顆引擎還並沒有能夠對外輸出功率的能力, 那麼現在我們要開始來給空氣加熱了。
我們就拿前面所用的同樣的汽缸活塞配置來做分析, 同樣使用地面大氣條件的空氣取 3 L 作為缸內初始容積; 並且為了方便做對比,後續所有分析的配置都採用同樣的初始條件。 作為第一個分析對象,我們就仿效在 Otto 之前的人們一樣, 不用壓縮空氣就直接加熱,然後讓空氣膨脹。 我們就來給空氣加熱增加個 1000 度的溫度, 經由前面介紹過的比熱容算式,我們可以知道這需要投入 2772.7618 J 的熱量; 而後面的所有其它配置的分析,我們也完全比照這個實驗, 給空氣投入 2772.7618 J 熱量,這樣可以更容易的進行互相比較。 結果如下圖(Figure 9):

除了多了加熱之外,所有的一切就和前面介紹過的內容一樣。 給空氣增溫後,溫度來到 1300 K,壓力來到 439075 Pa。 在膨脹的行程裡,我們就讓活塞可以無限跑, 暫時先別管這樣的引擎機械結構要怎麼打造?總之我們有足夠的空間讓活塞充份膨脹就是了! 最後當缸內氣體膨脹為 8.7 L 的時候達到內外壓力平衡,活塞也停止在此。 總結缸內容積膨脹了 2.9 倍,做功 564.6911 J,效率為 20.37%。 這個結果好不好?我們暫且不評論,就當作個比較基準, 看看後面其它的情況結果如何再來做個比對。
此外還有一個現象值得我們注意。 缸內壓力隨著氣體容積的增加而持續減小, 當內部壓力與外部環境壓力相同的時候,活塞完全做完所有的功,再也榨不出更多動力; 而此最終狀態下的氣體溫度約為 855 K (我們的初始氣體溫度為 300 K), 呼應了我在前篇 [2] 所講述的內容: 「氣體吸收能量而增加了壓力和溫度,其壓力被我們拿來做功, 可是其溫度我們卻無法利用,只能讓它成為系統廢熱然後排放出去; 然而即便溫度的增加需要吸收能量並且沒有用處,我們卻不能不給它加熱來提取其壓力。」

那麼現在我們來試試看先將空氣壓縮後再燃燒的情況。 先將空氣在汽缸內壓縮 3 倍體積, 也就是將容積從 3 L 壓縮為 1 L (過程即為 Figure 10 中的藍色線段)後, 再將它升溫 1000 度,然後再讓它膨脹,也同樣的膨脹不受限。 結果是壓縮氣體花費了 216.7181 J 功,膨脹最終來到 6.8 L,膨脹倍率 6.8 倍, 膨脹做功 1400.2796 J。 雖然壓縮氣體這程序消耗了可觀的能量,但是這麼一來一回, 扣掉壓縮氣體所花費的能量之後,機械功靜輸出還有 1183.5615 J, 比前一個未壓縮的案例還多,熱效率則為 42.69%。
我們發現不管是機械功的輸出、或是熱效率, 多了一個壓縮過程的情況都比前一個沒有壓縮的情況表現更佳, 僅僅加了三倍的壓縮就使效率上升約一倍!這是為什麼呢? 觀察圖表就能發現,雖然我們投入的熱量是一樣多的,提升的溫度差也是一樣的, 但是加了壓縮過程的版本在加熱的時候,壓力的增幅明顯高過沒有壓縮過程的增幅。 於是我們接下來再試試看如果加熱前再壓縮更多一點會怎麼樣呢?

這次我們在加熱空氣之前先將空氣壓縮 6 倍,也就是把 3 L 空氣壓縮至 0.5 L 容積大小。 結果壓縮氣體花費了 542.8529 J,最終膨脹容積來到 6 L,膨脹倍率 12 倍, 膨脹做功 2018.4921 J,靜輸出功 1475.6392 J,熱效率來到 53.22%。 整體表現又比壓縮 3 倍的版本更好了,並且觀察圖表似乎也印證了一件事: 在加熱空氣前,如果空氣的壓力愈高,那麼加熱後的壓力增幅也愈大! 事實上繼續嘗試壓縮 12 倍、壓縮 24 倍的圖表也同樣表現出了這樣的趨勢(Figure 12), 當壓縮倍率來到 24 倍的時候,靜輸出功 1892.2437 J,效率來到 68.24%。 這就是燃燒前先壓縮的精妙之所在, 也是為什麼但凡任何燒油的發動機想要在燃油效率上有所突破的話, 總是想盡辦法想要增加壓縮率的原因!
這就是燃燒前「壓縮」這個動作給發動機性能表現所帶來的決定性影響力, 也是 Otto 引擎能夠名流青史的根本原因。 事實上在 Otto 引擎發明之前就已經存在許多空氣引擎了, 它們就像最前面的那個沒有壓縮的引擎一樣,直接燃燒加熱空氣,然後膨脹推動活塞。 當然這種引擎整體功效都奇差無比, 也就不難想像為什麼後來 Otto 先生一推出自己的發明就能夠收穫一堆訂單了! 進氣、壓縮、燃燒、膨脹、排氣,這幾個活塞引擎動作的基本步驟, 也許在我們現代的後輩人眼裡並不是那麼讓人耳目一新的嶄新思想,甚至並不覺有多麼了不起。 但是這就像是世界上第一個繞出迴紋針的人一樣,試想如果把你生在他們的那個年代, 又有多少人能夠想得出來,在燃燒前要先給空氣加壓會這麼有用呢?

從解析理論來解釋壓縮的作用
好的,至此我們確實能從圖表上明顯的看出壓縮這個動作, 它在整個發動機運作原理中所具有的角色地位。 但是有沒有能夠從數學原理上給我們展示, 為什麼壓縮的愈起勁,加熱後的壓力增加幅度愈大的原理呢? 我們這裡用理想氣體方程來一讀加熱前後的氣體狀態關係:
\[ \frac{ P_3 V_3 }{T_3} = \frac{ P_2 V_2 }{T_2} \]
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雖然在任意兩個狀態之間可以用狀態 1 和狀態 2 表示, 但是一般在 Otto 循環的理論分析上有著比較廣泛的習慣寫法, 所以這裡、以及下面的解說中都將採用計算分析中慣例的表示: 壓縮前的氣體狀態為狀態 1,壓縮後為狀態 2, 燃燒增溫後為狀態 3,膨脹後為狀態 4。 |
由於理想的燃燒是瞬間完成的,燃燒前後汽缸容積並沒有變化,\( V_3 = V_2 \),因此:
\[ P_3 = P_2 \frac{T_3}{T_2} \]
投入熱量加熱空氣會使空氣升溫,並且定量的熱量對定量的氣體會升高同樣的溫度差, 這個差值與氣體當下的溫度、體積、壓力等無關,因此我們假定加熱動作使氣體溫度增加了 \(\Delta T\):
\[ P_3 = P_2 \frac{ T_2 + \Delta T }{T_2} \] \[ P_3 = P_2 \left( 1 + \frac{\Delta T}{T_2} \right) \]
這裡我們可以發現,加熱後的壓力 \(P_3\) 其實就是將加熱前的壓力 \(P_2\) 放大一個倍率。 當然我們可以增加 \(\Delta T\) 的量來讓 \(P_3\) 更大, 但是要增加 \(\Delta T\) 量就要投入更多的熱量,對於想要改善效率的情況來說意義不大。 因此我們這裡假定 \(\Delta T\) 固定為一個值不變,意義是我們想要找到一個規律, 在投入的熱量不變的情況下能讓 \(P_3\) 盡可能變得更大。 那麼這個看上去並不複雜的方程式就告訴我們,想要讓 \(P_3\) 變大的話, 增加 \(P_2\) 或降低 \(T_2\) 都有作用。
對於降低 \(T_2\),也就是降低壓縮後的溫度這點實現比較困難,而且實際效果幫助比較有限。 具體影響效果還得考慮 \(\Delta T\) 的大小,假設 \(\Delta T\) 和 \(T_2\) 的值差不多大的話, 那麼 \(T_2\) 縮減一半,也才能讓 \(P_3\) 增為 1.5 倍, 何況實際上該二者的值距離「差不多」可能還有點遙遠。 具體要操作的話,就是要在氣體壓縮的過程中儘量去對氣體散熱, 而這其實也是那些有增壓器的汽車上面所配備的中冷散熱器所帶來的副作用; 不過你可千萬別把空氣都壓縮完了才去散熱啊! 這時空氣壓縮該付出的功都已經付進去了, 反而你降低了多少溫度最後還要燒更多的油才能把溫度加回來,完全多此一舉!
如果想要採行降低 \(T_2\) 的方案的話只有兩種方法: 或者是在壓縮的過程中一邊同時在散熱,或者是想辦法讓吸進來的環境空氣溫度降低(\(T_1\))。 其實降低進氣溫度也是實務上可行的做法,但是我們要怎麼控制外界環境的溫度呢? 我們無法改變外界空氣的條件,但是我們自己的工作時段是可以調整的。 所以在冷天環境空氣溫度低的時候,內燃機車輛的發動機效率會略為增加 (不過太冷以致於機油溫度都很難上升至工作溫度的情況不在此考量), 同樣的原因也是為什麼貨運飛機喜歡在半夜起降的原因其一; 不過這些方法對於燃油效率的改善幅度,也真的就只是那麼一丟丟!
至於為什麼成效非常有限? 我們的進氣溫度 \(T_1\) 是 300 K,也就是大約 27℃;那麼你能夠降低多少呢? 光是要讓進氣溫度減半,那就是 150 K,那可就是 -123℃ 啊!能辦到嗎? 對於一般不同天氣和季節的氣溫差值只有十幾二十度,了不起幾十度的氣溫變化量來說, 幫助還真的就只是那麼一丟丟。 因此降低溫度的做法效果並不好,只能作為次要的輔助手段。
既然降溫這條路的實際作用比較有限,那麼增壓這個方法呢? 上列方程式告訴我們,增加 \(P_2\) 的大小可以等比例的放大 \(P_3\) 的大小,效益顯著; 至少比起降低 \(T_2\) 所產生的幫助效果、以及實務上的難度而言, 增加 \(P_2\) 的方法可簡單好用多了,而實務上也是如此。 這就是為什麼所有的燃燒式發動機都在一股腦努力用力壓縮空氣的原因! 聰明的讀者可能會發現一個小問題: 「不對啊!壓縮同樣也會升溫,會增加 \(T_2\) 的大小,這樣不會不好嗎?」 的確,壓縮會導致溫度上升,可是有兩項因素導致這麼一來一回之後, 增壓帶來的效益還是好過增溫帶來的損害: 其一是如前述 \(T_2\) 的增加對於 \(P_3\) 的影響並不是那麼嚴重; 其二是如同我們前面提過的,壓縮的時候不管壓力或溫度都會同步上升, 但是壓力的增長速度比溫度的增加速度更快的多! 如此一來二往下來,就成了在燃燒前給空氣增壓,可以使燃燒後的壓力增幅倍增現象的結果。
計算總功率
我們至此已經完成基本的發動機循環分析了,但是有些朋友也許會有個疑問: 這個能量輸出的單位怎麼和平常我們聽說的馬力什麼的不一樣啊?什麼是焦耳,為什麼用焦耳? 為什麼這個動力的數字與平常熟悉的數字完全不一樣啊?
其實以上的分析計算得出來的結果,都是在單次動力循環裡面所吸收、和釋放的能量。 如同我在前篇[2] 所述, 一般實務上我們可能會更加關注的是發動機做功的速率,也就是功率,而非單次的做功能量。 但是從單次的活塞做功輸出計算出功率其實很容易計算, 既然功率就是做功的速率,因此我們只要知道發動機在一段時間之內到底重複了多少次單一循環就好了。
就拿上面壓縮比為 24 的那個分析結果作為例子吧, 該例分析的結果為單次循環可以得到 1892.2437 J 的淨功輸出。 假設該發動機曲軸轉速為 3000 RPM,也就是在一分鐘時間內轉了 3000 圈,也就是一秒鐘 50 圈, 又由於四行程發動機是曲軸轉兩圈才完成一次動力循環,因此它一秒鐘實際做了 25 次動力功輸出。 因此最終它的功率就是 1892.2437 J 乘 25 得 47306.0925 W,單位從焦耳變成瓦特。 而如果這顆引擎不只有一個汽缸,假設它有 4 個汽缸好了,那麼結果就是單缸功率乘以 4, 得 189224.37 W;或者把單位換算成千瓦小時就變成 681207.732 kWh。
不過在發動機實用領域可能更多人熟悉的功率單位是馬力,如上面的瓦數換算成馬力就是 257.27 (hp)。 馬力其實是因為歷史的原因,古時候因為是以馬作為測量基準,所以叫馬力; 但是因為馬力其實也同樣是功率單位,所以可以與標準功率單位互相轉換。 最終我將整個發動機的功率計算方式簡單整理如下,讓讀者們可依自己的需要和習慣自行計算換算這些數字:
\[ 發動機功率(W) = 單缸單次循環淨功(J) \cdot 汽缸數量 \cdot \frac{轉速(RPM)}{ 60 \cdot 2 } \]
\[ 功率(hp) = \frac{功率(W)}{735.49875} \]
至於效率呢?效率只與單缸單次循環的結果有關,至於轉速快慢、缸數多少等等,並不影響效率的數字; 當然這是指完美條件下的純理論分析,至於打造成一個真實發動機後的運作相關損耗另當別論; 功率的輸出其實在考量運作損耗之後也不是單純的與轉速和汽缸數成比例關係,不過同理暫且忽略不管。
總結
在本篇,介紹了氣體對於體積、壓力、與溫度彼此之間的關聯性和消長關係, 然後通過對氣體加熱升溫,產生活塞做功輸出的過程與特性。 也介紹了如何在單缸的機械做功輸出、與發動機整體功率或馬力數字之間互相轉換的簡單計算方法。
更加關鍵的是,本篇解答了發動機之所以在燃燒前要壓縮空氣的原因, 從氣體的物理原理上解釋了壓縮的作用,並用數學與計算看見了壓縮帶來的效果。 因為先壓縮空氣能夠使得後續的燃燒增溫取得更大的壓力增幅, 進而能夠輸出更多動力,並提升燃油能量轉換效率; 並且從理論計算中得到一個結論:在沒有其它意外因素的干擾之下,壓縮比是愈高愈好!
至此,我們從純物理的角度,理解了活塞發動機最根源最單純的動力原理。 不過,理論與實際總有些不完美的落差, 比如說壓縮比既然越大越好,那為什麼當前的汽油發動機壓縮比卻只停在 10 左右就止步不前了呢? 要解答這些問題,就得從理論走進現實,了解真實的發動機所面臨的各種不得以; 這些,我將放在下一個篇章繼續講解……
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